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2015年上海市春季高考数学试卷
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2015年上海市春季高考数学试卷一、填空题(每小题3分,满分36分))1.设全集ᶸmaa,ᶸma,则ᶸ________.m算:2.计算:ᶸ________(其中:为虚数单位).:3.函数ᶸsinn算的最小正周期是________.4.计算:limᶸ________.算5.以a为圆心,m为半径的圆的标准方程为________.6.已知向量ᶸma,ᶸam,若,则ᶸ________.7.函数ᶸnn算,n晦a的值域为________.晦nᶸa8.若线性方程组的增广矩阵为,解为则算ᶸ________.晦mᶸma9.方程lgn算m算lgnᶸm的解集为________.m10.n算的二项展开式中常数项是________(用数字作答).n11.用数字m,,,,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为________.(结果用数值表示)12.已知点ma晦,直线nᶸm,两个动圆均过点且与相切,其圆心分别为m,,若动点满足ᶸm算,则的轨迹方程为________.二、选择题(每小题3分,满分36分))13.若൏晦൏,则下列不等式恒成立的是()mmA.B.C.D.൏14.函数ᶸnnm的反函数为()A.ᶸnnmB.ᶸnnmC.ᶸnn晦D.ᶸnn晦n15.不等式晦的解集为()nmA.aB.aC.ama算D.am16.下列函数中,是奇函数且在晦a算上单调递增的为()mmmA.ᶸnB.ᶸnC.ᶸnD.ᶸn17.直线nᶸ晦的倾斜角为()试卷第1页,总9页 A.arctanB.arctanC.arctanD.arctan18.底面半径为m,母线长为的圆锥的体积为()A.B.C.D.19.以a晦和a晦为焦点,长轴长为的椭圆方程为()nnA.算ᶸmB.算ᶸmmmnnC.算ᶸmD.算ᶸmmm20.在复平面上,满足ݖ数复的)位单数虚为:(:算ݖᶸmݖ对应的点的轨迹为()A.椭圆B.圆C.线段D.直线21.若无穷等差数列,晦൏差公,晦m项首的的前项和为,则()A.单调递减B.单调递增C.有最大值D.有最小值22.已知晦,晦,若算ᶸ,则()A.算有最小值B.有最小值mmmC.算有最大值D.有最大值算23.组合数算m算aa恒等于()A.B.算mC.D.算m算算算m算m24.设集合ᶸnn算n算m晦,ᶸnn算n算晦,ᶸnn算n算mm晦,ᶸnn算n算晦,其中,,下列说法正确的是()A.对任意,m是的子集,对任意,m不是的子集B.对任意,m是的子集,存在,使得m是的子集C.存在,m不是的子集,对任意,m不是的子集D.存在,m不是的子集,存在,使得m是的子集三、解答题(共5大题,满分48分))25.如图,在正四棱柱中ܤܥmܤmmܥm,ܤᶸm,ܥmܤ和平面ܤܥ所成的角的大小为arctan,求该四棱柱的表面积.n算n算26.已知是实数,函数nᶸ是奇函数,求n在晦a算上的最小值及取n到最小值时n的值.试卷第2页,总9页 27.某船在海平面处测得灯塔ܤ在北偏东晦方向,与相距ᦙ晦海里.船由向正北方向航行ᦙm海里达到处,这时灯塔ܤ与船相距多少海里(精确到晦ᦙm海里)?ܤ在船的什么方向(精确到m)?n28.已知点m、依次为双曲线ᶸma晦的左右焦点,mᶸ,ܤm晦a,ܤ晦a.m若ᶸ,以ᶸa为方向向量的直线经过ܤm,求到的距离;若双曲线上存在点,使得ܤmܤᶸ,求实数的取值范围.29.已知函数nᶸnn.m解不等式n൏;数列满足ᶸ,为的前项和,对任意的,不等式m算恒成立,求实数的取值范围.一、选择题(本大题满分9分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得3分,否则一律得0分.)30.对于集合,ܤ,“ܤ”是“ܤܤ”的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件31.对于任意实数,,均成立,则实数的取值范围是()A.a晦B.a晦C.a晦D.a晦a算32.已知数列满足算ᶸ算,那么必有()算算m算A..B列数差等是m是等差数列C..D列数差等是是等差数列二、填空题(本大题满分9分)本大题共有3小题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得0分.)33.关于n的实系数一元二次方程n算݌n算ᶸ晦的两个虚数根为ݖ,ݖ若,ݖ,ݖ在mm复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点,则该椭圆的长轴长为________.34.已知圆心为,半径为m的圆上有三点,ܤ,,若算ܤ算ᶸ晦,则ܤᶸ________.35.函数n与n的图象拼成如图所示的“”字形折线段ܤܥ,不含晦am,ܤmam,晦a晦,mam,ܥ晦am五个点,若n的图象关于原点对称的图形试卷第3页,总9页 即为n的图象,则其中一个函数的解析式可以为_______.三、解答题(本大题满分12分)解答本题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.)36.对于函数n,n,存在函数n,使得nᶸnn,则称n是n的“n关联函数”.m已知nᶸsinn,nᶸcosn,是否存在定义域为的函数n,使得n是n的“n关联函数”?若存在,写出n的解析式;若不存在,请说明理由;mn已知函数n、n的定义域为ma算,当na算m时,nᶸsinm,若存在函数mn及n,使得n是n的“mn关联函数”,且n是n的“n关联函数”,求方程nᶸ晦的解.试卷第4页,总9页 参考答案与试题解析2015年上海市春季高考数学试卷一、填空题(每小题3分,满分36分)1.2.m:3.4.晦ᦙ5.n算ᶸm6.7.a8.9.10.11.12.ᶸnm二、选择题(每小题3分,满分36分)13.D14.A15.D16.B17.A18.D19.B20.D21.C22.A23.A24.B试卷第5页,总9页 三、解答题(共5大题,满分48分)25.解:∵正四棱柱ܤܥmܤmmܥm的侧棱ܥmܥ底面ܤܥ,连结ܤܥ,∴ܥmܤܥ为直线ܤܥm与底面ܤܥ所成的角,ܥmܤ和平面ܤܥ所成的角的大小为arctan,ܥܥm∴tanܥmܤܥᶸ,ܥܥmᶸᶸ,∴正四棱柱ܤܥmܤmmܥm的侧面积ᶸmᶸ,底面积为m算mᶸ.棱柱的表面积为:.n算n算26.解:∵函数nᶸ是奇函数,nnn算n算n算∴ᶸ,nn∴ᶸ晦,∴nᶸn算,n∵n晦,∴nᶸn算nᶸ,nn当且仅当nᶸ时,n在晦a算上的最小值为.27.解:由余弦定理可得ܤᶸ算ᦙmᦙmcos晦晦ᦙ海里,ᦙ由正弦定理可得ᶸm,sinܤ结合图形,可得ܤ,∴ܤ在船的南偏东方向.试卷第6页,总9页 28.解:m由题意可知:ᶸ,a晦,ᶸ算,ᶸ,∴ᶸ,设直线的方程为ᶸn算,ᶸa为方向向量的直线,∴ᶸ,点ܤm晦a在直线上,ᶸ,∴直线方程为n算算ᶸ晦,算晦算m到的距离ᶸᶸ.算由题意可知:ᶸ,设n晦a晦,ᶸ算,得ᶸᶸ,①ܤmᶸn晦a晦算,ܤᶸn晦a晦,ܤܤᶸ,整理得:n算ᶸ,m晦晦则:nᶸ,②晦晦n晦晦由点在双曲线上:∴ᶸm,③晦晦将①②代入③整理得:ᶸm,∴ᶸ,晦晦整理得:mmᶸ,晦∵晦,晦∴mm晦,解得:,∵൏,实数的取值范围a.29.解:mnᶸn൏,即൏n൏,即晦൏n൏,故n൏.ᶸ,时,ᶸm算算ᦙᦙᦙ算ᶸm算晦算m算算ᦙᦙᦙ算mᶸ算mᶸ算mmm算ᶸ算;m∵算,m算∴,试卷第7页,总9页 m算算ᶸᶸᶸᶸ算,算m可得:算mᶸmmᶸmmm算ᶸ,m故当,算m晦,即൏൏൏ᦙᦙᦙ൏,;mm又∵ᶸᶸᶸ,m∴minᶸᶸ,m故.m综上所述:实数的取值范围是,.m一、选择题(本大题满分9分)本大题共有4题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得3分,否则一律得0分.30.C31.B32.D二、填空题(本大题满分9分)本大题共有3小题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得3分,否则一律得0分.33.34.nam൏n൏晦a35.nᶸma晦൏n൏mᦙ三、解答题(本大题满分12分)解答本题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.36.解:m假设存在定义域为的函数n,使得n是n的“n关联函数”.即有sinnᶸcosnn,解得nᶸtann,由tann的定义域为nn算a,故不存在定义域为的函数n.试卷第8页,总9页 由题意可得nᶸnmn,nᶸnn,相乘可得,mnnᶸm,即有nᶸ晦,即为nᶸ晦,mnnm即sinmᶸ晦,即sinᶸ,mnm由na算m,可得mam算,nm可得sinsinmam,sinm,ᶸm,nᶸ时取得最大值m,m晦am,仅在ᶸm取得m,mm当时,晦a,n与sin的值域无交集,只有ᶸm,nᶸ有解.试卷第9页,总9页
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